In English

 

Поле кручения

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»

Поле кручения — силовое поле, действующее на массы и тела, находящиеся в поступательном или вращательном движении, является второй компонентой гравитационного поля в лоренц-инвариантной теории гравитации и в ковариантной теории гравитации. По своему действию поле кручения аналогично магнитному полю в электромагнетизме (смотри максвеллоподобные гравитационные уравнения). Термин поле кручения в таком значении введён Сергеем Федосиным в 1999 г. Размерность поля кручения в системе физических единиц СИ такая же, как у частоты, то есть c-1.

Поле кручения играет важную роль в гравитационной модели сильного взаимодействия.

 

Содержание

1 Поле кручения в лоренц-инвариантной теории гравитации

o   1.1 Уравнения Хевисайда

o   1.2 Частица со спином в поле кручения

o   1.3 Гравитационный векторный потенциал

2 Поле кручения (гравитомагнитное поле) в общей теории относительности

3 Эффекты, связанные с полем кручения

4 Аналогии с электродинамикой

5 См. также

6 Ссылки

7 Дополнительные ссылки

Поле кручения в лоренц-инвариантной теории гравитации  

В лоренц-инвариантной теории гравитации (ЛИТГ) сила гравитации рассматривается как двухкомпонентная сила, зависящая от напряжённости гравитационного поля (гравитационного ускорения)  ~ \mathbf{\Gamma }  и от гравитационного кручения  Ω :

\mathbf{F} = M \mathbf{\Gamma } + M \left[\mathbf{v}\times \mathbf{\Omega}\right],

 

где ~M  и ~ \mathbf{v}  есть масса и скорость тела, движущегося в гравитационном поле.

Кручение  ~ \mathbf{\Omega}  в ЛИТГ с точностью до постоянного множителя соответствует напряжённости так называемого гравитомагнитного поля  ~\mathbf{H_g}   в общей теории относительности  ОТО. Причиной возникновения кручения в ЛИТГ является необходимость соответствия принципу лоренц-инвариантности для потенциалов поля гравитации в инерциальных системах отсчёта. [1]

Как и напряжённость гравитационного поля, поле кручения делает свой вклад в тензор гравитационного поля, в тензор энергии-импульса гравитационного поля, а также в плотность энергии гравитационного поля:

~u=-\frac{1}{8 \pi G }\left(\Gamma ^2+ c^2_{g} \Omega^2 \right),

где  ~ c_{g}   скорость распространения гравитационного воздействия, ~ G  гравитационная постоянная,

в вектор плотности потока энергии гравитационного поля или вектор Хевисайда:

~\mathbf{H} =-\frac{ c^2_{g} }{4 \pi G }[\mathbf{\Gamma }\times \mathbf{\Omega }], 

и в функцию Лагранжа для частицы в гравитационном поле.

 

Уравнения Хевисайда

Поле кручения входит в три из четырёх дифференциальных уравнений Хевисайда:

~ \nabla \cdot \mathbf{\Omega}= 0,

 

~ \nabla \times \mathbf{\Omega}= \frac{1}{c^2_{g}} \left( -4 \pi G \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{\Gamma }} {\partial t} \right) = \frac{1}{c^2_{g}} \left( -4 \pi G \rho \mathbf{ v_{\rho}} + \frac{\partial \mathbf{\Gamma }} {\partial t} \right), 

 

~ \nabla \times \mathbf{\Gamma } = - \frac{\partial \mathbf{\Omega} } {\partial t}, 

где:

§     ~ \mathbf {J}  – плотность тока массы,

§     ~ \rho  – плотность движущейся массы,

§     ~ \mathbf {v}_{\rho}  – скорость движения потока массы, создающего гравитационное поле и кручение.

Из первого уравнения следует, что поле кручение не имеет источников, и значит, линии поля кручения всегда замкнуты, как у магнитного поля. Согласно второму уравнению, кручение создаётся движением вещества и изменением во времени напряжённости гравитационного поля. Из третьего уравнения вытекает эффект гравитационной индукции.

Согласно ЛИТГ, напряжённость гравитационного поля (гравитационное ускорение)  ~ \mathbf{\Gamma }   и кручение  ~ \mathbf{\Omega}  определяют компоненты реальной физической гравитационной силы, которая может быть обоснована на квантовом уровне подобно электромагнитной силе. Кручение возникает всегда, когда имеет место какое-либо движение массы. Поскольку любое движение можно разбить на две части – вращательное и поступательное, то соответственно можно говорить о двух видах кручения. Кручение за пределами вращающейся сферы с моментом импульса ~ \mathbf{L}  имеет дипольный вид: [2]

~ \mathbf{\Omega}= \frac{ G }{2 c^2_{g}} \frac{ \mathbf{L}- 3 (\mathbf{L} \cdot \mathbf{r} /r) \mathbf{r} /r}{r^3}. 

Наличие 1/2 в формуле для  ~ \mathbf{\Omega}  отражает тот факт, что гравитационный момент осесимметричного тела равен половине его момента импульса. При прямолинейном движении тела кручение гравитационного поля равно:

~ \mathbf{\Omega}= \frac{ \mathbf{V}}{c^2_{g}} \times \mathbf{\Gamma }, 

где ~ \mathbf{V}  – скорость движения тела, ~ \mathbf{\Gamma }  – напряжённость гравитационного поля от тела в той точке, где определяется кручение ~ \mathbf{\Omega},  причём напряжённость ~ \mathbf{\Gamma }  берётся с учётом запаздывания распространения гравитационного возмущения.

В общем случае кручение от точечной произвольно движущейся массы можно выразить через создаваемую ею напряжённость гравитационного поля ~ \mathbf{\Gamma }:

~ \mathbf{\Omega}= \frac{ 1 }{c_{g}} \mathbf{ e}_{r} \times \mathbf{\Gamma },

где  \mathbf {e}_{r}  есть единичный вектор, направленный от точечной массы в ту точку, где определяется кручение, взятый в раннее время с учётом запаздывания.

 

Частица со спином в поле кручения

Формула для момента силы, действующего на вращающуюся частицу со спином  \mathbf {L}  в поле кручения  \mathbf{\Omega}, записывается так:

\mathbf {K} = \frac{1}{2} \mathbf {L}  \times \mathbf{\Omega}.

Поскольку частица представляет собой волчок со спином \mathbf {L}, то при наличии момента сил \mathbf {K}  частица начнёт прецессировать вдоль направления поля \mathbf{\Omega}. Это следует из уравнения вращательного движения:

\mathbf {K} = \frac{d \mathbf {L} } {dt}.

Так как момент сил \mathbf {K}  перпендикулярен спину \mathbf {L}  и кручению \mathbf{\Omega}, то это же справедливо и для приращения спина d\mathbf {L}  за время dt. Перпендикулярность  \mathbf {L}  и  d\mathbf {L}  приводит к прецессии спина частицы с угловой скоростью  \mathbf {w} = -\frac{ \mathbf {\Omega} }{2}   вокруг направления \mathbf{\Omega}. Последнее равенство следует из того, что  \mathbf {K} = \frac{d \mathbf {L} } {dt}=\frac{1}{2} \mathbf {L}  \times \mathbf {\Omega},  а величина  w=  \frac{dL} {L \sin Q dt} = \frac{d\varphi} {dt},  где  ~Q  есть угол между  \mathbf{\Omega}  и  \mathbf {L}, причём приращение угла  d\varphi  отсчитывается от проекции вектора  \mathbf {L}  на плоскость, перпендикулярную вектору \mathbf{\Omega}, до проекции вектора \mathbf {L} + d \mathbf {L}   на эту плоскость.

При наличии неоднородного поля кручения частица со спином \mathbf {L}  будет увлекаться в область более сильного поля. Из уравнений ЛИТГ следует выражение для такой силы:

\mathbf {F} = \frac{1}{2}\nabla \left(\mathbf {L} \cdot  \mathbf{\Omega} \right).

Механическая энергия частицы со спином в поле кручения будет равна:

U= -\frac{1}{2} \mathbf {L}  \cdot  \mathbf{\Omega}.

 

Гравитационный векторный потенциал

Поле кручения и напряжённость гравитационного поля тесно связаны с потенциалами поля и выражаются через последние по формулам:

~\mathbf{\Omega }= \nabla \times \mathbf{D},

 

~\mathbf{\Gamma }= -\nabla \psi - \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t},

где  ~\psi  есть скалярный потенциал, ~ \mathbf{D}  – векторный потенциал гравитационного поля.

Значение потенциалов определяется тем, что если пробную частицу единичной массы поместить во внешнее гравитационное поле, то  ~\psi  будет задавать дополнительную энергию такой частицы за счёт действия поля, при этом  ~ \mathbf{D}  оказывается частью обобщённого импульса частицы. [3] Векторный потенциал поля делает вклад в поле кручения и в напряжённость гравитационного поля, но поле кручения прямо не зависит от скалярного потенциала. При записи уравнений в четырёхмерной форме потенциалы поля образуют гравитационный 4-потенциал ~ D_\mu, причём тензор гравитационного поля, состоящий из  ~\mathbf{\Omega }  и  ~\mathbf{\Gamma }, получается как 4-ротор от  ~ D_\mu.

 

Поле кручения (гравитомагнитное поле) в общей теории относительности

В отличие от ньютоновской механики, в общей теории относительности (ОТО) движение пробной частицы (и ход часов) в гравитационном поле зависит от того, вращается или нет тело — источник поля. Влияние вращения сказывается даже в том случае, когда распределение масс в источнике в его системе отсчёта не меняется со временем (например, имеется цилиндрическая симметрия относительно оси вращения). Гравитомагнитные эффекты в слабых полях чрезвычайно малы. В слабом гравитационном поле и при малых скоростях движения частиц можно отдельно рассматривать гравитационную и гравитомагнитную силы, действующие на пробное тело, причём напряжённость гравитомагнитного поля и гравитомагнитная сила описываются уравнениями, близкими по форме к соответствующим уравнениям электромагнетизма.

Рассмотрим движение пробной частицы в окрестностях вращающегося сферически симметричного тела с массой  ~ M  и моментом импульса  ~ \mathbf{L}. Если частица массой  ~ m движется со скоростью  v\ll c  (~ c  скорость света), то на частицу, помимо гравитационной силы, будет действовать гравитомагнитная сила, направленная (подобно силе Лоренца) перпендикулярно как скорости, так и напряжённости гравитомагнитного поля ~ \mathbf{ H_g }. В системе единиц СГС будет:

\mathbf{F}= \frac{m}{c}  \left[\mathbf{v}\times 2\mathbf{ H_g }\right].

При этом, если вращающаяся масса находится в начале координат и ~ \mathbf{r}  — радиус-вектор, напряжённость гравитомагнитного поля равна: [4]

\mathbf{ H_g } = \frac{ G }{c} \frac{\mathbf{L} - 3(\mathbf{L} \cdot \mathbf{r}/r) \mathbf{r}/r}{r^3},

где ~ G  — гравитационная постоянная.

Последняя формула совпадает (за исключением коэффициента) с аналогичной формулой для поля магнитного диполя с магнитным дипольным моментом, равным  ~ \mathbf{L}. В ОТО гравитация не есть самостоятельная физическая сила. Скорее, гравитация ОТО сводится к искривлению пространства-времени и трактуется как геометрический эффект, приравнивается к метрическому полю. [5] [6] Такой же геометрический смысл получает и гравитомагнитное поле  ~ \mathbf{ H_g }.

В противоположность этому, в ЛИТГ предполагается, что сила от кручения возникает уже в пространстве Минковского, как и магнитная сила. В ОТО эквивалентная гравимагнитная сила рассматривается в римановом пространстве, в котором гравитация носит тензорный, а не векторный характер. Поэтому спин гравитонов в ОТО полагается в два раза большим, чем в векторной теории ЛИТГ. Отсюда в ряде работ по гравитоэлектромагнетизму в ОТО в выражениях для силы и гравимагнитного поля появляются добавочные численные множители по сравнению с выражениями для силы и поля кручения в ЛИТГ. Для прямолинейного движения тел формулы для кручения в ЛИТГ и в ОТО совпадают. [7]

 Эффекты, связанные с полем кручения

В случае сильных полей и релятивистских скоростей поле кручения нельзя рассматривать отдельно от гравитационного, поскольку начинает сказываться зависимость метрического тензора от величины полей, а уравнения поля становятся взаимосвязанными и нелинейными. При этом ЛИТГ переходит в ковариантную теорию гравитации (КТГ). [8] В слабых полях в качестве отдельных эффектов поля кручения рассматриваются следующие:

  • увлечение инерциальных систем отсчёта. Это прецессия спинового и орбитального моментов пробной частицы вблизи массивного вращающегося тела. В системе единиц СИ угловая скорость прецессии равна  \mathbf{w}= -\frac{\mathbf{\Omega}}{2}   и направлена против направления поля кручения  Ω .
    • орбитальный эффект Лензе-Тирринга, приводящий к прецессии, то есть к вращению нормали эллиптической орбиты частицы относительно вектора поля гравитационного кручения вращающегося тела. Данный эффект векторно складывается со стандартной общерелятивистской прецессией перицентра (43″ в столетие для Меркурия), которая не зависит от вращения центрального тела. Орбитальная прецессия Лензе-Тирринга была впервые измерена для спутников LAGEOS и LAGEOS II.
    • спиновый эффект Лензе-Тирринга (или эффект Шиффа) выражается в прецессии гироскопа, находящегося вблизи вращающегося тела. Если гироскоп рассматривать как вращающийся волчок, то ось такого волчка будет периодически изменять своё направление в пространстве с частотой прецессии. Проверка такой прецессии была одной их целей эксперимента Gravity Probe B, проведённого NASA в 2005—2007 гг. на спутнике с орбитой, проходящей через полюс Земли. [9] Однако ошибки измерений оказались чересчур велики, в пределах 256—128 %, помешав осуществить измерения. [10] Экспериментальное измерение эффекта Шиффа является проверкой для теорий ОТО и КТГ в отношении формул для прецессии. На полюсе Земли угловая скорость прецессии ~w направлена так же, как спин Земли ~L, и из КТГ следует:

           w = -\frac{\Omega }{2}= \frac{ G L}{2 c^2_{g} r^3},

где ~r есть расстояние от центра Земли до гироскопа на орбите возле полюса. Измерение ~w позволяет непосредственно определить скорость распространения гравитации ~c_{g}   в КТГ. Такая же формула справедлива и в ОТО, но для усреднённого по всей орбите значения угловой скорости прецессии, [11] причём при  ~ c_{g}=c для ~w должно быть значение 0,0409 угловых секунд в год (здесь  ~r=R_e +640=6378 +640 = 7018 км для спутника Gravity Probe B, ~R_e – радиус Земли, высота спутника равна 640 км).

  • геодезическая прецессия (эффект де Ситтера) возникает при параллельном переносе вектора момента импульса в искривленном пространстве-времени. Для системы Земля-Луна, движущейся в поле Солнца, скорость геодезической прецессии равна 1,9″ в столетие; точные астрометрические измерения выявили этот эффект, который совпал с предсказанным в пределах ошибки ~1 %. Геодезическая прецессия гироскопов на спутнике Gravity Probe B совпала с предсказанным значением (поворот оси на 6,606 угловой секунды в год в плоскости орбиты спутника) с точностью лучше 1 %. Формула для прецессии де Ситтера в ОТО имеет вид: [12]

~ \mathbf {w} = \frac{3}{2} \frac{ G M}{c^2 r^3}\mathbf {r} \times \mathbf {V} =\frac{3}{2} \frac{ G M}{c^2 r^2} \mathbf {\omega}_o,

где ~\mathbf {V} есть скорость движения гироскопа на земной орбите, ~M – масса Земли, ~\mathbf {\omega_o } – угловая орбитальная скорость вращения гироскопа.

Угловая скорость геодезической прецессии перпендикулярна как скорости движения гироскопа, так и ускорению силы тяжести Земли, совпадая с направлением угловой орбитальной скорости вращения. Поэтому на полюсе Земли геодезическая прецессия перпендикулярна спиновой прецессии в эффекте Шиффа, угловая скорость которой здесь направлена по оси вращения Земли.

  • гравитомагнитный сдвиг времени. В слабых полях (например, вблизи Земли) этот эффект маскируется стандартными спец- и общерелятивистским эффектами изменения хода часов и находится далеко за пределами современной точности эксперимента.

Аналогии с электродинамикой

Так как поле гравитационного кручения подобно магнитному полю в электродинамике, а момент импульса частицы подобен дипольному магнитному моменту, то согласно ЛИТГ это позволяет дать интерпретацию эффекта Лензе-Тиррирнга на примере вращения электрически заряженной пробной частицы вокруг притягивающего её тела в случае, если это тело имеет дипольный магнитный момент. В силу закона сохранения орбитального момента импульса, плоскость орбиты частицы стремится не изменять своё положение в пространстве. Однако при вращении частицы вокруг тела на заряд частицы будет действовать дополнительная сила Лоренца от магнитного поля тела, перпендикулярная скорости частицы. В стационарном режиме скорость и орбитальный момент импульса частицы не будут меняться по модулю, но сама орбита вращающейся частицы и направление её орбитального момента импульса будут прецессировать относительно оси дипольного магнитного момента тела, как в орбитальном эффекте Лензе-Тиррирнга.

Если же частица имеет собственный магнитный момент и спин, то возникнет взаимодействие магнитных моментов частицы и тела. Энергия этого взаимодействия зависит от взаимной ориентации магнитных моментов. Магнитное поле тела будет стремиться установить магнитный момент частицы по направлению поля, но частица обладает спином, стремящимся сохранить своё направление в пространстве. Поэтому возникнет прецессия спина частицы относительно оси дипольного магнитного момента тела, подобно эффекту Шиффа.

Другой эффект связан с орбитальным движением частицы с магнитным моментом и спином относительно заряженного тела. В системе покоя центра инерции частицы вращается как сама частица, так и тело вокруг этой частицы. Орбитальное вращение заряженного тела создаёт магнитное поле, действующее на магнитный момент частицы. Это приводит к прецессии магнитного момента и спина частицы относительно магнитного поля от орбитального вращения тела. Заменим теперь магнитное поле кручением гравитационного поля, а заряды массами. Тогда окажется, что угловая скорость прецессии спина частицы составит одну треть от угловой скорости геодезической прецессии (другие две трети возникают от искривления пространства-времени вокруг тела за счёт изменения метрики).

См. также

§  Напряжённость гравитационного поля

§  Максвеллоподобные гравитационные уравнения

§  Гравитоэлектромагнетизм

§  Лоренц-инвариантная теория гравитации

§  Ковариантная теория гравитации

§  Тензор гравитационного поля

§  Вектор Хевисайда

§  Тензор энергии-импульса гравитационного поля

§  Магнитное поле

Ссылки

1.       Fedosin S.G. Electromagnetic and Gravitational Pictures of the World. Apeiron, 2007, Vol. 14, No. 4, P. 385 – 413; статья на русском языке: Электромагнитная и гравитационная картины мира.

2.       Федосин С.Г. Физика и философия подобия от преонов до метагалактик, Пермь: Стиль-МГ, 1999, ISBN 5-8131-0012-1. 544 стр., Табл.66, Ил.93, Библ. 377 назв.

3.       Fedosin S.G. The Hamiltonian in Covariant Theory of Gravitation. Advances in Natural Science, 2012, Vol. 5, No. 4, P. 55 – 75. http://dx.doi.org/10.3968%2Fj.ans.1715787020120504.2023 ; статья на русском языке: Гамильтониан в ковариантной теории гравитации.

4.       L. Iorio, H.I.M. Lichtenegger, M.L. Ruggiero, C. Corda. Phenomenology of the Lense-Thirring effect in the Solar System. arXiv:1009.3225v2 16 Sep 2010.

5.       Professor R.W.Tucker Publications. Can one measure Spacetime Torsion?, Proceedings for 60th birthday tribute to J. Azcaragga, Salamanca, Spain, June 2003.

6.       H. I. Arcos and J. G. Pereira. Torsion and the gravitational interaction. arXiv:gr-qc/0408096 v2 4 Nov 2004.

7.       Sergei M. Kopeikin. Gravitomagnetism and the Speed of Gravity. Int. J. Mod. Phys.D 15:305-320,2006.

8.       Федосин С. Г. Физические теории и бесконечная вложенность материи, Пермь, 2009, 844 стр., Табл. 21, Ил.41, Библ. 289 назв. ISBN 978-5-9901951-1-0.

9.      Everitt, C.W.F., et al., Gravity Probe B: Countdown to Launch. In: Laemmerzahl, C., Everitt, C.W.F., Hehl, F.W. (Eds.), Gyros, Clocks, Interferometers…: Testing Relativistic Gravity in Space. — Berlin, Springer, 2001, pp. 52—82.

10.  Muhlfelder, B., Mac Keiser, G., and Turneaure, J., Gravity Probe B Experiment Error, poster L1.00027 presented at the American Physical Society (APS) meeting in Jacksonville, Florida, on 14—17 April 2007, 2007.

11.  Yi Mao , Max Tegmark, Alan Guth, Serkan Cabi. Constraining Torsion with Gravity Probe B. arXiv:gr-qc/0608121v45, Phys. Rev. D. 76, 104029, 2007.

12.  N. Straumann, General Relativity and relativistic Astrophysics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1991.

Дополнительные ссылки

 

Источник: http://serg.fedosin.ru/pk.htm

        На список страниц